математика 4-8 класс

Задачи на части

Задачи на части рассматривают величины, которые состоят из частей. В некоторых из задач части представлены явно, в то время как другие могут требовать выявления их через анализ информации или с использованием дополнительных знаний.
В данной статье рассмотрим все способы решения задач на части.
Метод решения задач на части с помощью отрезков (схемы)
Изучим метод решения задач на части с помощью отрезков. Такой метод подходит в случае, когда в задаче задано соотношение между частями либо части указаны в виде дробей или процентов.
Задача
В двух коробках лежат шарики. В первой коробке количество шариков в 4 раза больше, чем во второй коробке. Всего в коробках 150 шариков. Сколько шариков лежит в каждой коробке?
Решение:
1) Представим содержимое коробок в виде частей. Если шарики, находящиеся во второй коробке, составляют 1 часть, то в первой коробке — 4 такие части. Сделаем схематический рисунок:
2) Содержимое двух коробок составляет 5 частей или 150 шариков, тогда в одной части 150 : 5 = 30 шариков.

3) Тогда в 1 коробке лежит 1 * 30 = 30 шариков.

4) Во 2 коробке лежит 4 * 30 = 120 шариков.

Ответ: в 1 коробке 30 шариков
Задача
В первый день со склада вывезли 2/7 кг конфет, во второй - 20% от оставшихся, а в третий - остальные 560 кг. Сколько кг конфет было на складе изначально?
Решение:
1) Представим количество конфет по дням в частях. В первый день вывезли 2/7 части со склада, тогда поделим весь отрезок на 7 частей и под первый день выделим 2 части.

2) На второй и третий день остается 7 - 2 = 5 частей. Известно, что во второй день вывезли 20% от остатка. Найдем сколько частей составляет 20% от 5 частей: 5 * 20 : 100 = 1 часть выделим под второй день.
Остается 4 части, которые вывозили в 3 день.
Сделаем схематический рисунок:
3) По количеству в 3 день вывезли 560 кг конфет, тогда одна часть составляет 560 : 4 = 140 кг конфет.

4) Следовательно 7 * 140 = 980 кг конфет было на складе.

Ответ: 980 кг конфет было на складе.
Метод решения задач на части с помощью уравнения
Следующий метод решения задач на части с помощью составления уравнения. Данный метод применяется для всех задач без исключения, но не для всех составить уравнение легко.
Задача
Поезд доехал из одного города в другой за 3 часа. В первый час он проехал 3/10 всего пути, во второй 3/5 остатка, а за третий час - остальные 36 км. Найдите расстояние между
городами.
Решение:
1) Пусть х - это расстояние между городами.

2) Тогда:
3/10 * x - расстояние, которое проехал поезд за первый час
3/5 * (1-3/10) * x - расстояние, которое проехал поезд за второй час, 1-3/10 - остаток пути после первого часа.

3) Составим уравнение:
3/10 * x + 3/5 * (1-3/10) * x + 36 = х
3/10 * x + 3/5 * x - 3/5 * 3/10 * x + 36 = х
3/10 * x + 3/5 * x - 9/50 * x + 36 = х
15/50 * x + 30/50 * x - 9/50 * x + 36 = х
36/50 * x + 36 = х
14/50 * x + 36 = х
36 = x - 14/50 * x
36 = 36/50 * x
x = 36 * 50 : 36 = 50 (км)

Ответ: расстояние между городами равно 50 км.
Метод решения задач на части "с конца" (обратный ход)
Последний метод решения задач на части называется "с конца" или "обратный ход". Метод применяется для задач, у которых последняя остаточная часть строго представляет собой число.
Задача
Бабушка Мария испекла пирожки. Её внук Алексей съел половину всех пирожков и еще один пирожок. Внучка Елена съела 40% оставшихся пирожков, а внук Иван съел оставшиеся 6 пирожков. Сколько всего пирожков испекла бабушка Мария?
Решение:
1) Решим задачу с конца, то есть с последнего внука, так как они ели пирожки последовательно друг за другом.

2) В конце осталось 6 пирожков, после того, как поела Елена, и до того, как поел Иван. Так как Елена съела 40% от оставшихся после Алексея пирожков, значит 6 это 60 % от оставшихся пирожков после Алексея => 6 * 100 : 60 = 10 пирожков осталость после того, как поел Алексей.

3) Алексей съел половину всех пирожков и еще один, после чего осталось 10 пирожков. Тогда в момент, когда Алексей съел половину всех пирожков, оставалось 11. А значит всего пирожков 2 * 11 = 22
Итого: ((6 * 100 : 60) + 1) * 2 = 22

Ответ: 22 пирожка испекла бабушка Мария.
Задачи на части для самостоятельного решения
№ 1
В трех пеналах на парте лежат ручки. Известно в третьем ручек больше, чем в первом в 3 раза, а во втором ручек больше, чем в первом в 2 раза.

Сколько ручек в пеналах, если всего в трех пеналах 12 ручек? (4-5 класс)

Ответ: в 1-ом 2 ручки, во 2-ом 4 ручки, в 3-ем 6 ручек.

№ 2
На столе лежат капкейки. Капкейков с малиной в 3 раза больше капкейков с черникой. Капкейков с абрикосом в 4 раза больше капкейков с малиной.

Сколько капкейков каждого вида на столе, если с капкейков 32?(4-6 класс)

Ответ: с черникой 2, с малиной 6, с абрикосом 24.

№ 3
Катя купила коробку конфет. Лена съела треть всех конфет и еще две конфеты. Мария съела половину оставшихся конфет и еще одну. Даша съела 30% оставшихся конфет и еще одну, а Оля съела последние шесть конфет.

Сколько всего конфет было в коробке, которую купила Катя? (5-8 класс)

Ответ: 36 конфет.

№ 4
В парке росли яблони. Вася сорвал треть всех яблок и еще два. Петя съел половину оставшихся яблок и еще одно. Маша съела 70% оставшихся яблок и еще одно, а Катя съела половину остатка и последние четыре яблока.

Сколько всего яблок было на яблонях в парке? (5-8 класс)

Ответ: 96 яблок.

№ 5
В офисе IT-компании работают три группы сотрудников: программисты, менеджеры и рекламщики. 45% всех сотрудников составляют программисты. Рекламщиков в офисе в полтора раза меньше, чем программистов. А менеджеров на 30 человек меньше, чем рекламщиков.

Сколько всего сотрудников работает в офисе IT-компании? (5-8 класс)

Ответ: 600 сотрудников.

№ 6
Группа ребят играет в мафию. Оказалось, что число выбывших из игры составляет 20% от числа играющих. На следующий раунд выбывает еще один участник, и число выбывших составляет ровно четверть от числа играющих.

Сколько всего ребят играло в мафию? (5-8 класс)

Ответ: 30 ребят.
Хотите знать и разбираться в школьной математике больше, тогда записывайтесь к нашим преподавателям на индивидуальные уроки или на авторский курс школьной математики.
Заключение
Решение задач на части требует не только математических навыков, но и способности анализировать, разбивать и систематизировать информацию, что делает его важным элементом в развитии аналитического мышления и умений в области математики.