ВОЙТИ
ЗАПИСАТЬСЯ НА УРОК
математика 4-8 класс

Задачи на
встречное движение

Встречное движение - это одна из классических математических задач, которая описывает
движение двух объектов навстречу друг другу.
Эта концепция часто применяется в реальной жизни, например, при расчете времени прибытия двух автомобилей, отправляющихся навстречу друг другу из разных мест.
Основные понятия встречного движения
В математике, решая задачи на встречное движение двух объектов, используются такие основные понятия, как:
V1 — скорость первого объекта движения,
V2 — скорость второго объекта движения,
S — первоначальное расстояние.
t — время движения.

Тогда для решения задач потребуются:
V сбл = V1 + V2 — скорость сближения - это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени,
S = V сбл * t встр — изначальное расстояние между объектами,
t встр = S : V сбл — время через которое объекты встретятся,
D = S - V сбл * t — расстояние между объектами через определённый промежуток времени после начала движения.
Решение задач на встречное движение
Задача №1
Два автомобиля двигаются навстречу друг другу. Первый автомобиль движется со скоростью 50 км/ч, а второй - со скоростью 70 км/ч. Известно, что они встретились через 2 часа после начала движения.
Какое расстояние было между ними изначально?
Решение:
1) V сбл = 50 + 70 = 120 (км/ч) скорость сближения поездов.
2) S = 120 * 2 = 240 (км) изначально расстояние между автомобилями.
Ответ: 240 км.
Задача №2
Два поезда движутся навстречу друг другу по одной железной дороге. Первый поезд отправляется из пункта А со скоростью 60 км/ч, а второй поезд отправляется из пункта Б со скоростью 80 км/ч. Расстояние между пунктами А и Б составляет 280 км. Через сколько часов они встретятся?
Решение:
1) V сбл = 60 + 80 = 140 (км/ч) скорость сближения поездов.
2) t встр = 280 : 140 = 2 (ч) время встречи.
Ответ: 2 ч.
Задача №3
Из пункта А выехала машина со скоростью 70 км/ч. После того, как она прошла 32 км, из пункта В навстречу ей выехал мотоциклист со скоростью 52 км/ч. Расстояние между пунктами 520 км.
Сколько часов был в пути мотоциклист до встречи с машиной?
Решение:
Нарисуем схему движения в момент выезда мотоциклиста.
Машина проехала к тому моменту 32 км, скорости машины и мотоциклиста равны 70 и 52 км/ч соответственно:
1) 520 - 32 = 488 (км) начальное расстояние между машиной и мотоциклом.
2) V сбл = 70 + 52 = 122 (км/ч) скорость сближения.
3) t встр = 488 : 122 = 4 (ч) время встречи.
Ответ: 4 ч.
Задача №4
Из города Евклидово в город Декартово выехал Вася на снегоходе с постоянной скоростью 16 км/ч и за 2 часа прошел ровно треть пути. В этот момент Андрей выехал из города, который находится точно посередине между Васей в момент его движения спустя 2 ч и городом Декартово. Вася узнал, что Андрей выехал навстречу и сразу увеличил скорость на 20%, чтобы быстрее встретиться. Андрей встретил Васю через 1 ч.
С какой скоростью ехал Андрей?
Данная задача требует знания таких тем, как проценты и задачи на части

Решение:
Нарисуем схему движения Васи до выезда Андрея спустя 2 ч от начала движения.
Вася прошел треть пути, поэтому весь путь делим на три части и обозначаем положение Васи спустя 2 ч:
1) 2 * 16 = 32 (км) треть пути, который прошел Вася.

Нарисуем схему движения Васи и Андрея в момент, когда они поехали навстречу друг другу.
Вася увеличил свою скорость на 20%, Андрей стартовал из точки расположенной на 2/3 всего пути согласно условию задачи. Тогда начальное расстояние между ними 32 км.
2) 16 * 1.2 = 19.2 (км/ч) новая скорость Васи.
3) V сбл = 32 : 1 = 32 (км/ч) скорость сближения.
4) 32 - 19.2 = 12. 8 (км/ч) скорость Андрея.
Ответ: 12. 8 км/ч.
Задача №5
Красная и синяя машина одновременно отправились навстречу
друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 62 км. При встрече оказалось, что путь, который прошла синяя машина, составляет 11/20 пути красной машины.
Какой путь прошла красная машина до встречи с синей?
Сколько часов была в пути красная машина до встречи с синей, если ее скорость была на 45 км/ч больше скорости синей?
Данная задача требует знания такой темы, как задачи на части

Решение:
Нарисуем схему движения машин.
Скорости красной на 4.5 км/ч больше синей. Так как путь, который прошла синяя машина, составляет 11/20 пути красной машины, то отобразив весть путь в частях, получиться, что красная машина пройдет 20 частей, а синяя 11 частей.
1) 20 + 11 =31 (часть) составляет весь путь.
2) 62 : 31 = 2 (км) длина одной части пути.
3) 2 * 20 = 40 (км) прошла красная машина до места встречи.
4) 2 * 11 = 22 (км) прошла синяя машина до места встречи.
5) V сбл = V син + V син + 45 = 2 V син + 45 (км/ч) скорость сближения
6) Составим уравнение для расстояния между машинами и найдем t встр:
62 = t встр * V сбл = t встр * (2 * V син + 45)
62 = t встр * 2 * V син + t встр * 45
62 = 2 * t встр * V син + t встр * 45
Так как t встр * V син = 22 км, сделаем замену
62 = 2 * 22 + T встр * 45
T встр = (62 - 44) : 45 = 0.4 (ч) время встречи.
Ответ: 40 км, 0.4 ч.
Задачи на встречное движение для самостоятельного решения
№ 1
От двух станций, расстояние между которыми 680 км, отошли
одновременно навстречу друг другу две электрички. Скорость первой 72 км/ч, скорость второй на 8 км/ч меньше.

Сколько километров прошла до встречи электричка с меньшей скоростью? (4-5 класс)

Ответ: 320 км.

№2
Из пункта А выехала легковая автомашина со скоростью
70 км/ч. Одновременно с ней из пункта В навстречу ей выехала грузовая машина со скоростью 48 км/ч. Расстояние между пунктами 520 км.

Какое расстояние было между машинами через 1 ч движения?(4-5 класс)

Ответ: 402 км.

№3
Два марафонца выбегают навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 38 км. Если первый выбежит на 3 часа раньше второго, то он встретит второго бегуна через 5 ч после своего выхода. Если второй выедет на 2 ч раньше первого, то он встретит первого бегуна через 5 ч после своего выхода.

С какой скоростью бежит каждый бегун? (5-8 класс)

Ответ: 6 км/ч, 4 км/ч.
Заключение
Задачи на встречное движение - это отличный способ применить математические навыки к реальным ситуациям. Понимание основных принципов и умение применять их в различных контекстах позволяет эффективно решать подобные задачи.
Хотите знать и разбираться в школьной математике больше, тогда записывайтесь к нашим преподавателям на индивидуальные уроки или на авторский курс школьной математики.
ЗАПИСАТЬСЯ НА ПРОБНЫЙ