№ 1
Разбейте группу из 8 человек на 5 команд. Каждая команда должна содержать хотя бы двух человек. Докажите, что в какой-то момент две команды будут иметь одинаковое количество человек.
Доказательство:
- Докажем задачу от противного. Пусть не существует момента, когда две команды будут иметь одинаковое количество человек.
Так как минимально в команде может быть 2 человека, начнем разбивать людей на команды согласно нашему предположению (в данной задаче очевидно, что кролики в данной задаче - это люди, клетки - это команды). - В первой команде будет 2 человека, во второй 3, в третьей можно разместить только 3 человека. Итого мы распределили всех 8 людей на три команды и нам не хватило людей, чтобы заполнить все команды согласно нашему принципу,.
- Мы пришли к противоречию с нашим утверждением, значит в какой-то момент будут две команды с одинаковым количеством человек. Доказано.
№ 2
Дан выпуклый многоугольник с 20 вершинами. В каждой вершине многоугольника установлен флажок одного из пяти цветов: красный, синий, зелёный, жёлтый и фиолетовый. Каждый цвет используется не менее чем в четырех вершинах многоугольника.
Докажите, что существует такая диагональ многоугольника, на концах которой стоят флажки одного цвета.