Олимпиадная математика 4-8 класс

Круги Эйлера

Олимпиадная математика представляет собой уникальное поле для тех, кто стремится преодолеть границы обыденного мышления и погрузиться в захватывающий мир математических головоломок и теорий.
Одной из наиболее захватывающих и интересных тем, которую могут встретить участники олимпиад, является "Круги Эйлера".
Круги Эйлера: Теоретическая справка
Эйлеровы круги – это концепция, предложенная великим швейцарским математиком Леонардом Эйлером в XVIII веке. Эта тема стала неотъемлемой частью олимпиадной математики, предоставляя участникам уникальные задачи, требующие не только глубоких знаний в области геометрии и комбинаторики, но и тонкого интеллектуального мышления.
Ключевая идея кругов Эйлера - это представление конечного множества элементов, состоящих из подмножеств, в виде кругов на плоскости.
Рисунок 1. Пример: Спортсмены из секции легкой атлетики бегают в двух местах: на стадионе и на набережной. Некоторые из них бегают только на стадионе, некоторые только на набережной, часть бегает и там и там.
Пример решения задачи с помощью Кругов Эйлера
Сотрудники одной компании обедают в разных места: кафе, столовая и ресторан. Известно, что в кафе обедают равно 50 сотрудников, в столовой - 80, в ресторане - 20. Оказалось, что 20 сотрудников предпочитает кафе и столовую, 8 столовую и ресторан, 5 кафе и ресторан. 3 любят обедать в трех местах.

  1. Сколько сотрудников обедают только в кафе?
  2. Сколько сотрудников обедают только в столовой?
  3. Сколько сотрудников обедают только в ресторане?
  4. Сколько сотрудников обедают только в ресторане и кафе?
  5. Сколько всего сотрудников в компании?

Решение:
1. Для решения задачи необходимо нарисовать три круга, каждый будет отвечать за посещение кафе, ресторана или столовой. Так как есть сотрудники, которые ходят сразу в два и три места, то все три круга пересекаются.
Для того, чтобы ответить на вопросы задачи, необходимо будет найти, сколько сотрудников входит в разные цветные области Кругов Эйлера, изображенные на рисунке 2.
Рисунок 2. Круги Эйлера с обозначением областей, K - кафе, С - столовая, Р - ресторан.
2. Внесем в Круги Эйлера данное, которое уже известно из условия задачи: в трех местах обедает 3 сотрудника (рисунок 3). Затем, на основе имеющихся данных, рассчитаем количество сотрудников в остальных областях.
Рисунок 3. Круги Эйлера с указанием сотрудников, которые предпочитают и кафе, и ресторан, и столовую.
3. Найдем количество сотрудников, которые предпочитают только кафе и столовую. Всего сотрудников, которые обедают в кафе и столовой 20, НО среди них есть сотрудники, которые посещают еще и ресторан, их 3. Чтобы найти количество сотрудников, которые предпочитают ТОЛЬКО кафе и столовую надо из 20 вычесть 3, итого их будет 17. Аналогично можно заполнить две другие области для сотрудников, которые посещают ТОЛЬКО два места (рисунок 4).
Рисунок 4. Круги Эйлера с расчетом количества сотрудников, которые посещают только два место.
4. Найдем количество сотрудников, которые предпочитают ТОЛЬКО кафе. Всего сотрудников, которые обедают в кафе 50, НО среди них есть сотрудники, которые посещают еще
  • ресторан, их 2,
  • столовую, их 17,
  • ресторан и столовую, их 3.
Тогда чтобы найти количество сотрудников, которые предпочитают ТОЛЬКО кафе надо из 50 вычесть 3, 2 и 17, итого их будет 28. Аналогично можно заполнить две другие области для сотрудников, которые посещают ТОЛЬКО одно место (рисунок 5).
Рисунок 5. Круги Эйлера с расчетом количества сотрудников, которые посещают только одно место.
5. Ответим на вопросы задачи (рисунок 6):

  1. Сколько сотрудников обедают только в кафе? - салатовая область: 28.
  2. Сколько сотрудников обедают только в столовой? - красная область: 55.
  3. Сколько сотрудников обедают только в ресторане? - синяя область: 10.
  4. Сколько сотрудников обедают только в ресторане и кафе? - зеленая область: 2.
  5. Сколько всего сотрудников в компании? - сложить числа во всех областях: 28+17+55+3+2+5+10 = 120
Рисунок 6. Круги Эйлера с указанием сотрудников для всех областей.
Задачи на Круги Эйлера для самостоятельного решения
№ 1
В библиотеке на полках стоят книги на две темы: "Математика" и "Физика". Книг на тему "Математика" 50, книг на тему "Физика" - 80. Оказалось, что книг на совместные темы "Математика" и "Физика" 15 книг.

Сколько книг в библиотеке? (4 класс)

Ответ: 115.

№ 2
В книжном шкафу есть книги трех авторов. Известно, что книг первого автора 50, второго - 80, а третьего - 120. Оказалось, что книг первого и второго автора 15, второго и третьего - 25, а первого и третьего - 30. Кроме того, книг всех трех авторов 10.

  1. Сколько количество книжек только первого автора?
  2. Сколько количество книжек только второго автора?
  3. Сколько количество книжек только третьего автора?
  4. Сколько всего книг в шкафу? (4-7 класс)

Ответы: 15, 50, 75, 190

№ 3
Группа экологов исследует три экосистемы: лесную, океаническую, пустынную и тропическую. Каждая экосистема содержит различные виды растений, которые свойственны, как одной экосистеме, так и нескольким сразу. Исследователи провели подробные исследования и обнаружили следующие результаты:

  1. В лесной экосистеме было обнаружено 120 видов растений, в океанической - 150, в пустынной - 100 и в тропической - 110.
  2. Оказалось, что в лесной и океанической экосистеме нашли 30 общих видов растений, в океанической и пустынной - 20, в лесной и пустынной - 25, в пустынной и тропической - 15, а в тропической и океанической - 8.
  3. Кроме того, в лесной, океанической и тропической обнаружены 10 общих видов растений.
  4. Также в пустынной, океанической и тропической обнаружены 5 общих видов растений

Сколько всего видов растений находится только в одной из трех экосистем? (6-8 класс)

Ответы: Л: 75, О: 107, П: 55, Т: 92.
Хотите знать и разбираться в школьной математике больше, тогда записывайтесь к нашим преподавателям на индивидуальные уроки или на авторский курс школьной математики.
Заключение
Круги Эйлера представляют собой мощный инструмент для визуализации логических связей и пересечений между множествами. Их использование помогает не только лучше понять основы логики и теории множеств, но и применять эти знания в различных областях науки и исследований.