Круги Эйлера

Эйлеровы круги – это концепция, предложенная великим швейцарским математиком Леонардом Эйлером в XVIII веке. Эта тема стала неотъемлемой частью олимпиадной математики, предоставляя участникам уникальные задачи, требующие не только глубоких знаний в области геометрии и комбинаторики, но и тонкого интеллектуального мышления.

Сотрудники одной компании обедают в разных места: кафе, столовая и ресторан. Известно, что в кафе обедают равно 50 сотрудников, в столовой - 80, в ресторане - 20. Оказалось, что 20 сотрудников предпочитает кафе и столовую, 8 столовую и ресторан, 5 кафе и ресторан. 3 любят обедать в трех местах.

1. Сколько сотрудников обедают только в кафе?
2. Сколько сотрудников обедают только в столовой?
3. Сколько сотрудников обедают только в ресторане?
4. Сколько сотрудников обедают только в ресторане и кафе?
5. Сколько всего сотрудников в компании?

Решение:
1. Для решения задачи необходимо нарисовать три круга, каждый будет отвечать за посещение кафе, ресторана или столовой. Так как есть сотрудники, которые ходят сразу в два и три места, то все три круга пересекаются.
Для того, чтобы ответить на вопросы задачи, необходимо будет найти, сколько сотрудников входит в разные цветные области Кругов Эйлера, изображенные на рисунке 2.

Один из мощных инструментов для решения задач, связанных с подсчетом элементов в пересечениях множеств, – это формулы включения и исключения.

Эти формулы позволяют определить количество элементов в объединении нескольких множеств, учитывая пересечения между ними.

Формула включения и исключения
для двух множеств A и B:
∣A∪B∣ = |A| + |B| - |A∩B|
для трех множеств A, B и C:
|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| − |A∩B| − |A∩C| − |B∩C| + |A∩B∩C|,
где ∪ обозначает объединение множеств, ∩ пересечение множеств.

Эти формулы можно обобщить для большего количества множеств, но на практике чаще всего используются формулы для двух и трех множеств.

Предположим, что у нас есть данные о студентах, изучающих три предмета: математику, физику и химию. Пусть:

• 100 студентов изучают математику (М)
• 80 студентов изучают физику (Ф)
• 70 студентов изучают химию (Х)
• 40 студентов изучают математику и физику
• 30 студентов изучают математику и химию
• 20 студентов изучают физику и химию
• 10 студентов изучают все три предмета

Найдем общее количество студентов:
∣M∪Ф∪Х∣=|M| + |Ф| + |Х| − |M∩Ф| − |M∩Х| − |Ф∩Х| + |M∩Ф∩Х| =
100 + 80 + 70 − 40 − 30 − 20 + 10 = 170

№ 1
В библиотеке на полках стоят книги на две темы: "Математика" и "Физика". Книг на тему "Математика" 50, книг на тему "Физика" - 80. Оказалось, что книг на совместные темы "Математика" и "Физика" 15 книг.

Сколько книг в библиотеке? (4 класс)

Ответ: 115.

№ 2
В книжном шкафу есть книги трех авторов. Известно, что книг первого автора 50, второго - 80, а третьего - 120. Оказалось, что книг первого и второго автора 15, второго и третьего - 25, а первого и третьего - 30. Кроме того, книг всех трех авторов 10.

1. Сколько количество книжек только первого автора?
2. Сколько количество книжек только второго автора?
3. Сколько количество книжек только третьего автора?
4. Сколько всего книг в шкафу? (4-7 класс)

Ответы: 15, 50, 75, 190

№ 3
Группа экологов исследует три экосистемы: лесную, океаническую, пустынную и тропическую. Каждая экосистема содержит различные виды растений, которые свойственны, как одной экосистеме, так и нескольким сразу. Исследователи провели подробные исследования и обнаружили следующие результаты:

1. В лесной экосистеме было обнаружено 120 видов растений, в океанической - 150, в пустынной - 100 и в тропической - 110.
   
2. Оказалось, что в лесной и океанической экосистеме нашли 30 общих видов растений, в океанической и пустынной - 20, в лесной и пустынной - 25, в пустынной и тропической - 15, а в тропической и океанической - 8.
   
3. Кроме того, в лесной, океанической и тропической обнаружены 10 общих видов растений.
4. Также в пустынной, океанической и тропической обнаружены 5 общих видов растений

Сколько всего видов растений находится только в одной из трех экосистем? (6-8 класс)

Ответы: Л: 75, О: 107, П: 55, Т: 92.

Круги Эйлера представляют собой мощный инструмент для визуализации логических связей и пересечений между множествами. Их использование помогает не только лучше понять основы логики и теории множеств, но и применять эти знания в различных областях науки и исследований.